21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 参数方程 【考点梳理】 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做 ，简称 ． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 【考点突破】 考点一、参数方程与普通方程的互化 【例1】已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)． (1)求直线l和圆C的普通方程； (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． [解析] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 【类题通法】 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形． 【对点训练】 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值. 考点二、参数方程的应用 【例2】已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． [解析] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)． 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0. (2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为. 【类题通法】 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题． 2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题． 【对点训练】 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝. (1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程； (2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值． 考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用 【例3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2. (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． [解析] (1)C1的普通方程为＋y2＝1， 由于曲线C2的方程为ρsin＝2， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4， 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0. (2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)． 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值， 又d(α)＝＝， 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为. 【类题通法】 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的 ... ...
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