21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 不等式的证明 【考点梳理】 1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 2．不等式证明的方法 (1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种. 名称 作差比较法 作商比较法 理论依据 a＞b a－b＞0 a＜b a－b＜0a＝b a－b＝0 b＞0，＞1 a＞b b＜0，＞1 a＜b (2)综合法与分析法 ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． ②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 【考点突破】 考点一、比较法证明不等式 【例1】已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋. [解析] 法一：－(＋) ＝＋＝＋ ＝＝≥0， ∴＋≥＋. 法二：由于＝ ＝＝－1≥－1＝1. 又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋. 【类题通法】 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明＞1(b＞0)． 2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号． 【对点训练】 设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b). 考点二、综合法证明不等式 【例2】设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [解析] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 则＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. 【类题通法】 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A B1 B2 … Bn B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“ ”． 2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． 【对点训练】 已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3. 考点三、分析法证明不等式 【例3】设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明： (1)若ab>cd，则＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件． [解析] (1)∵a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d， 欲证＋＞＋， 只需证明(＋)2＞(＋)2， 也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2， 只需证明＞，即证ab＞cd. 由于ab＞cd， 因此＋＞＋. (2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由(1)，得＋>＋. ②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件. 【类题通法】 1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明． 2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理 ... ...
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