2018高考数学（理）专题突破--18导数与函数的单调性、极值、最值问题（教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 导数与函数的单调性、极值、最值问题 【考点梳理】 1.导数的几何意义 函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 2.四个易误导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)； (4)(logax)′＝(a>0，且a≠1，x>0). 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. ①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. ②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. ①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 4.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 【题型突破】 题型一、导数与定积分的几何意义 【例1】(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是_____. (2)展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S＝_____. 【答案】(1)2x－y＝0　(2)－ 【解析】(1)设x>0，则－x<0， 因为x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝ex－1＋x. 又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2. 所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. (2)因为展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为C＝20，解得a＝2， 所以曲线y＝x2和圆x2＋y2＝2在第一象限的交点为(1，1)，所以阴影部分的面积为－(x－x2)dx＝－＝－. 【类题通法】 1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值. 【对点训练】 (1)已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线，则[(x＋2)f(x)]dx＝(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 (2)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝_____. 【答案】(1)C　(2)1 【解析】(1)由y＝f(x)图象，易知f(x)＝ 所以原式＝(x＋2)(x＋1)dx＋(－x＋1)(x＋2)dx ＝(x2＋3x＋2)dx＋(－x2－x＋2)dx ＝＋ ＝＋＝2. (2)y′＝ ＝， 则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝1. 因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－， 又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直， 所以k1k2＝－1，解得a＝1. 题型二、利用导数研究函数的单调性 【例2】已知函数f(x)＝ln x＋，其中常数k>0， (1)讨论f(x)在(0，2)上的单调性； (2)若k∈[4，＋∞)，曲线y＝f(x)上总存在相异两点M(x1，y1)，N(x2，y2)使得曲线y＝f(x)在M，N两点处切线互相平行，求x1＋x2的取值范围. 【解析】(1)因为f′(x)＝－－1 ＝＝－(x>0，k>0). ... ...