考点三十 数列前n项和与数列的通项 知识梳理 1．数列{an}的前n项和Sn Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 2．数列的通项an与前n项和Sn的关系 an＝ 3．已知数列的前n项和Sn，求an的方法 (1)第一步，令n=1,求出a1＝S1； (2)第二步，当n≥2时，求an＝Sn－Sn－1； (3)第三步，检验a1是否满足n≥2时得出的an，如果适合，则将an用一个式子表示；若不适合，将an用分段形式写出。21·cn·jy·com 4．已知an与Sn的关系式，求an的方法 (1)第一步，令n=1,求出a1＝S1； (2)第二步，当n≥2时，根据已有an与Sn的关系式，令n＝n＋1(或n＝n－1)，再写出一个an+1与Sn+1(或an－1与Sn－1)的关系式，然后两式相减，利用公式an＝Sn－Sn－1消去Sn，得出an与an+1(或an与an－1)的关系式，从而确定数列{an}是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。21·世纪*教育网 5．根据an与an+1(或an与an－1)的递推关系求通项公式 当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列； 当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列； 当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解； 当出现＝f(n)时，用累乘法求解． 典例剖析 题型一 已知数列的前n项和Sn求an 例1 已知下面数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求{an}的通项公式 解析 a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. 变式训练 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为_____． 答案 an＝ 解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式． 故数列的通项公式为an＝ 解题要点 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． 题型二 已知an与Sn的关系式求an 例2 (2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝_____.2-1-c-n-j-y 答案 (－2)n－1 解析 当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1. 当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1. 综上，an＝(－2)n－1. 变式训练 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，求{an}的通项公式 解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， ∴＝，又由S1＝2a2，得a2＝，且＝ ≠ ∴{an}是从第2项开始的等比数列，当n≥2时，an＝ ∴an＝ 解题要点 已知an与Sn的关系式求an时，需要分析所推出的递推式是对n∈N+成立，还是对n≥2时成立。对于求出的an也需进行检验，看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 题型三 利用递推式求an 例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝_____. (2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝_____. 答案 (1)＋1 (2)2×3n－1－1 解析 (1)由题意得，当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1. 又a1＝2＝＋1，符合上式， 因此an＝＋1. (2)方法一 (待定系数法) 设an＋1＋＝3(an＋)，展开得an＋1＝3an＋2， 与an＋1＝3an＋2比较可知：2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，因为a1＝1， 所以数列{an＋1}为以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋1＋1＝2×3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)， 所以an＝2×3n－1－1(n≥2)， 又a1＝1也满足上式， 故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1. 方法二 (迭代法) an＋1＝3an＋2， 即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)， 所以an＝2×3n－1－ ... ...
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