专题06 二次根式的概念与性质应用 理解与领悟 一、二次根式的概念及性质 式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1．．说明了与、2一样都是非负数． 2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径———通过平方，去掉根号有理化． 3． 揭示了与绝对值的内在一致性． 4． （≥0，≥0） ． 5 ．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则． 6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础． 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围； （2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边． 二、二次根式的性质应用： 1.二次根式的乘法: ，逆用：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，且都满足，其作用是： （1）化简二次根式：一般先将被开方数进行因式分解，再利用进行化简； （2）反过来，也可以将根号外的正因数或者正因式平方后移到根号里面去. 2. 二次根式的除法: .逆用：;利用商的算术平方根的性质可以进行二次根式的计算或者化简. 3. 最简二次根式具备两个特点: ①被开方数不含有分母 ②被开方数中不含能开方开得尽的因数或者因式. 例题与求解 知识点一：二次根式的概念拓展理解： 【例1】已知，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析： ＝，成立的条件是：，而且当时，；所以成立的条件应是：，即，故此应选C． 温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约． 【例2】若两个最简二次根式与是同类二次根式,则a、b的值是（ ） A.a=0,b=2 B.a=1,b=1 C.a=0,b=2或a=1,b=1 D.a=2,b=0 解：∵由题意得方程组解得，∴应选A 知识点二、二次根式中，隐含条件≥0的应用． 【例3】已知、为实数，且满足 求的值． 解析：因为为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数． 依题意得解得：，所以，又因为 所以＝＝2 温馨提示：若和都有意义，则＝0． 知识点三：二次根式非负性的应用 【例4】若，则的值为（ ） A．64 B． C．16 D． 解析：因为可以认为表示的是的算术平方根，所以表示非负数，又因为表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即＝0，，所以，，因此＝＝64，故选A．21·cn·jy·com 温馨提示：在初中我们接触到了实数的三个非负性，即、、，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0．2-1-c-n-j-y 知识点四：运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围 【例5】若实数x、y、a满足+＝+，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.21*cnjy*com 解析：由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，≥0，【来源：21cnj*y.co*m】 所以＝0，＝0.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.【出处：21教育名师】 【例6】阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.【版权所有：21教育】 如,它们的积是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:21教育名师原 ... ...
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