专题一 压轴填空题 第二关 以向量为背景的填空题 【名师综述】 平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值． 类型一 平面向量数量积在三角形中的应用 典例1 在中， ， ， ， 为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为_____． 【答案】 【名师指点】本题考查了余弦定理、平面向量数量积定义等，考查学生综合运用的能力． 【举一反三】如图，在中，已知， 为边的中点．若，垂足为，则EB·EC的值为__． 【答案】 【解析】， 由余弦定理，得， 得， ， ， 所以，所以。 类型二 几何图形中的向量问题 典例2如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则 的最大值为_____． 【答案】24 即 【名师指点】本题考查平面向量数量积坐标表示以及平面向量数量积几何意义等基础知识，试题综合性高． 【举一反三】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最大值为 . 【答案】6 【解析】解：设P（x，y），则=，又点P在椭圆上，故，所以，又-2≤x≤2，所以当x=2时，取得最大值为6，即的最大值为6，故答案为：6． 类型三 不等式中的向量问题 典例3 如图，已知矩形的边长， .点， 分别在边， 上，且，则的最小值为_____. 【答案】 【名师指点】本题考查平面向量数量积、基本不等式等基础知识，直接利用平面向量数量积定义不易求解，故先将所求向量分解，转化为易求平面向量数量积问题求解． 【举一反三】如图，在三棱锥中中，已知，，设，，，则的最小值为 ． 【答案】． 【精选名校模拟】 1．如图所示，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数），则的最大值为_____． 【答案】5 【解析】我们知道当点在直线上时，若，则，因此我们把直线向上平移，则在增大（只要点在与平行的同一条直线上，就不变，也即的值随直线到点的距离的变化而变化），当与重合，这时圆上有一点到的距离最大为5，而点到直线的距离为1，故最大值为5. 2．已知点，直线与函数的图像相交于两点，当最小时，直线的方程为_____． 【答案】 ∵， ∴ ∴当时， 最小 ∴直线的方程为 故答案为 3．在中，，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为 . 【答案】 【解析】设中点为连接、，则，则，即的值为. 4．设向量满足，则的最小值为 ． 【答案】或． 【解析】∵，∴， ∴，∴当时，． 5．如图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ． 【答案】 6．如图，在中，，，是的中点，若向量（），且点在的内部（不含边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 试题分析：如图以原点建立平面直角坐标系，则，， 因为是的中点，所以 因为向量，所以 又平面向量的平行四边形法则 所以 因为，所以 所以的取值范围是 7．边长为2的正三角形内（包括三边）有点，，求的取值范围 ． 【答案】． 8．已知点为等边三角形的中心,,直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为 . 【答案】 （2），联立（1）（2），得P点的坐标为（，）， 直线AC的方程：y-=-x， （3）， 联立（1）（3），得Q点的坐标为（，）， 则=（+1，+）,即=（+1，） =（-1，）, ·=（+1）（-1）+（）（）=， 因为0≤k≤， 所以·=≤=，当且仅当k=0，即直线l平行于x轴时取等号. 故·的最大值是. 9．边长为的正方形中,分别是线段上的 ... ...
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