题库:圆的证明与计算题 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长． 第1题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO， 第1题解图 ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴＝， ∵PA＝AO， ∴PA＝AO＝OB， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∵DE＝2， ∴PD＝4. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F. (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，cosA＝，求DF的长． 第2题图 （1）证明：如解图，连接OD， 第2题解图 ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； (2)解：如解图，过点O作OG⊥AC，垂足为G， ∴AG＝AE＝2. ∵cosA＝＝＝， ∴OA＝5， ∴OG＝＝， ∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°， ∴四边形OGFD为矩形， ∴DF＝OG＝. 3如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD. (1)求证：AD＝AN； (2)若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径． 第3题图 (1)证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AEN＝∠AMC＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BAM＝∠BCD， ∴∠BAM＝∠BAD， 在△ANE与△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE(ASA)， ∴AN＝AD； (2)解：∵AB＝4，AE⊥CD, ∴AE＝AB＝2， 又∵ON＝1， ∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1， 如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1， 第3题解图 ∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x－1，AO＝2x－1， ∴(2)2＋(x－1)2＝(2x－1)2， 解得x1＝2，x2＝－(舍)， ∴AO＝2x－1＝3， 即⊙O的半径为3. 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F； (2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长． 第4题图 （1）证明：如解图，连接DE. 第4题解图 ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°. ∵E是AB的中点， ∴DA＝DB， ∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F， ∴∠1＝∠F； (2)解：∵∠1＝∠F， ∴AE＝EF＝2， ∴AB＝2AE＝4. 在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4， ∴BC＝＝8. 设CD＝x，则AD＝BD＝8－x. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2， 即42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3， ∴CD＝3. 5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作ABCD，连接BE，DO，CO. (1)求证：DA=DC； (2)求∠P及∠AEB的度数. 第5题图 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵CB⊥AE， ∴AD⊥AE， ∴∠DAO＝90°， 又∵直线DP和⊙O相切于点C， ∴DC⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴在Rt△DAO和Rt△DCO中， ， ∴Rt△DAO≌Rt△DCO(HL)， ∴DA＝DC； (2)解：∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径， ∴CF＝FB＝BC， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴CF＝AD， 又∵CF∥DA， ∴△PCF∽△PDA， ∴＝＝，即PC＝PD，DC＝PD. 由(1)知DA＝DC， ∴DA＝PD， ∴在Rt△DAP中，∠P＝30°. ∵DP∥AB， ∴∠FAB＝∠P＝30°， 又∵∠ABE＝90°， ∴∠AEB＝90°－30°＝60°. 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：∠ABD＝∠ADE； (2)若⊙O的半径为，AD＝，求CE ... ...
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