最大利润问题在中考数中的体现 【专题综述】 利润问题是中考中的热点问题，在今年的中考试题中，出现了很多和利润有关的函数型试题．解决此类试题，需要从已知条件中捕捉函数信息，通过函数关系，进一步解决实际问题．本文最大利润问题在中考数中的体现举例说明. 【方法解读】 一、图象型 例1． 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）． （1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 分析：本题第（1）个问题是已知一次函数和二次函数的图像，求函数的解析式，观察两个函数的图像可知，前者是正比例函数，后者是二次函数，顶点是（0，0），利用待定系数法，先设两个函数的解析式，再将P（1，2），Q（2，2）代入相应的解析式求出参数即可；第（2）个问题是已知自变量的取值范围求二次函数的最值，属于二次函数的条件最值问题． 解：（1）设=,由图1所示，函数=的图像过（1，2），所以2=， 故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图2所示，函数=的图像过（2，2），所以， 故利润关于投资量的函数关系式是； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得：=+== 当时，的最小值是14；因为，所以， 所以， 所以，所以，即，此时， 当时，的最大值是32． 评注：这类试题一般先将函数解析式配方，将函数解析式变成顶点形式，找出顶点坐标和对称轴方程，结合自变量的取值范围，画出函数图像（抛物线的一部分），根据抛物线的对称性、开口方向，确定函数的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，这种解题方法体现了数中的数形结合的思想，它的优点是直观形象，避免死记公式． 二、表格型 例2． 红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量m（件） 94 90 84 76 24 … 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： （1）认真分析上表中的数据，用所过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围． 解：(1)将和代入一次函数m=kx+b中，有， ∴，∴m=－2x+96，经检验，其它点的坐标均适合以上解析式， 故所求函数解析式为m=－2x+96. (2)设前20日销售利润为P1元，后20日销售利润为P2元，] 由P1=(－2x+96)(t+5)=－t2+14t+480=－(t－14)2+578. ∵1≤t≤20且t为整数 ∴当t=14时，P1有最大值578元. 由P2=(－2x+96)(－t+20)=t2－88t+1920= (t－44)2－16 ， ∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P2在21≤t≤40上随t的增大而减小， ∴t=21时，P2有最大值为(21－44)2－16=513元，∵578＞513， 故第14天时，销售利润最大为578元． (3) P1=(－2x+96)(t+5－a)= －t2+(14+2a)t+480－96 a， 对称轴为t==14+2a. ∵1≤t≤20， ∴当 ... ...
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