例析反比例函数的四个模型及其应用 【专题综述】 近年来各省市中考都有考查反比例函数的难题，一般都放在选择题最后一题或填空题最后两个题的位置，属于中档偏上的题型.由于此类型的题目不仅要考察反比例函数的相关性质，而且常与其它几何图形相互结合考察几何图形特征，因此考察面较广又比较复杂，生常常找不到解题突破口.笔者认为，这类题型解题方法是有章可循的.解决反比例函数的常用方法有:关键点法、模型法、设而不解法、面积不变性等.其中模型法的应用常常能让问题简单化，甚至能直接看出答案.下面笔者主要谈谈反比例函数的四个模型及其应用，供参考. 【方法解读】 一、反比例函数的四个模型(证明略) 模型1 (1); (2) . 图1 图2 模型2 (1) (2) 图3 模型3 . 模型4 //. 图4 注 以上四个模型中点、都是反比例函数上的任一点. 二、模型的应用 例1 如图5，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于、两点，过、两点分别作轴，轴的垂线，垂足为、，连接.有下列四个结论: ①与的面积相等; ②∽; ③≌; ④. 其中正确的结论是 (填写序号). 图5 解析 此题主要考察模型1 ,3. 对结论①，①正确; 对结论②，，且两三角形同底，两三角形EF边上的高相等， ∥∽②正确; 结论③中，找不到全等条件，③错误; 对于结论④，直接运用模型3可得,④正确. 例2 已知反比例函数的图象与一次函数相交与第一象限的、两点，如图6所示，过、两点分别作、轴的垂线，线段、相交与.给出以下结论: ①; ②∽; ③若的面积是8，则; ④点一定在直线上. 其中正确的结论是 (填写序号). 图6 解析 对于结论①，先求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出是等腰直角三角形，由模型3可得，即≌，所以，故①正确; 对于结论②，, ，且由①，知∽，故②正确; 对于③，设(,6一)，则(6一,)，(,6一2).再由三角形的面积公式求出的值，故可得出点坐标.再根据点在反比例函数的图象上即可求出反比例函数的解析式.故③正确; 对于④，由②得，所以.又因为，所以点在线段的垂直平分线上，所以点在直线上，故④正确. 例3 如图7，反比例函数的图象与矩形的两边相交于、两点，若是的中点，，则的值为 . 图7 解析 由模型4，可得//，所以∽. 又因为是的中点，, 即, 所以 , 即. 例4 (2013年重庆中考题)如图8，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、,轴，垂足为，连结、、.下列结论: ①≌; ②四边形与面积相等; ③若，则点的坐标为(0,+1). 其中正确的结论是 (填写序号) 图8 解析 对于①，由模型1可得, 而，则; 再根据“SAS”可判断≌,故①正确; 对于②，由模型2可得,故②正确; 对于③，作于点，则为等腰直角三角形.设，则 ,. 在中，利用勾股定理，可求出, 所以. 易得为等腰直角三角形，得到. 设正方形的边长为， 在中，利用勾股定理，可求出的值为, 从而得到点坐标为(0,+1).故③正确. 总之，利用反比例函数的以上4个模型，是处理反比例函数问题的重要方法之一，我们在教中应该重视这些几何模型的掌握和应用. 【强化训练】 1. （2017山东省青岛市）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．不确定 2. （2017辽宁省锦州市）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF=2S△BEF，则k值为（ ） A． B．1 C． D． 3 ．（2017四川省阿坝州）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图 ... ...
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