第四关 以多结论的几何及二次函数问题为背景的选择填空题 【考查知识点】 以多结论的几何图形为背景的选择填空题题，主要考察了学生对三角形、四边形、圆知识的综合运用能力；以二次函数为背景的选择填空题，主要考察了二次函数的性质及二次函数系数与图象的关系。 【解题思路】 1.以多结论的几何图形为背景的选择填空题题中，用“全等法”和“相似法”证题应该是两个基本方法，为了更好掌握这两种方法，应该熟悉一对全等或一对相似三角形的基本图形，下图中是全等三角形的基本图形。大量积累基本图形，并在此基础上“截长补短”，“能割善补”，是学习几何图形的一个诀窍，每一个重要概念，重要定理都有一个基本图形，三线八角可以算做一个基本图形. 2. 以二次函数为背景的选择填空题中，根据图象的位置确定a、b、c的符号，a＞0开口向上，a＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=，由图像确定对称轴的位置，由a的符号确定出b的符号．由x=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c＞0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c＜0．确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号；根据对称轴确定a与b的关系；根据图象还可以确定△的符号，及a+b+c和a-b+c的符号。 【典型例题】 【例1】如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论是_____． 【答案】①②③④⑤ 【解析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论． 解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE， ∴DE=2，EC=4， ∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置， ∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE， 在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴GB=GF，∠BAG=∠FAG， ∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确； 设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x， 在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x， ∵CG2+CE2=GE2， ∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3， ∴BG=3，CG=6﹣3=3 ∴BG=CG，所以②正确； ∵EF=ED，GB=GF， ∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确； ∵GF=GC， ∴∠GFC=∠GCF， 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴∠AGB=∠AGF， 而∠BGF=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB=∠GCF， ∴CF∥AG，所以④正确； 过F作FH⊥DC ∵BC⊥DH， ∴FH∥GC， ∴△EFH∽△EGC， ∴=， EF=DE=2，GF=3， ∴EG=5， ∴△EFH∽△EGC， ∴相似比为： =， ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6， 连接AC， ∵CF∥AG， ∴S△FCA=S△FGC=3.6， 所以⑤正确． 故正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 本题考查了：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理和正方形的性质. 【名师点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质及 ... ...
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