数列求通项方法 方法一： 公式法 类型一：Sn与an的式子即：前n项和Sn与数列项an的 关系式 例1 数列{}的前n项和为，=1， ( ),求{}的通项公式 是以首项=2,q=3的等比数列，故 令n=1时 类型二：Sn与n的式子即：前n项和Sn与数列项数n的 关系式 例2：已知数列{an}的前n项和，n∈N*.求数列{an}的通项公式； 解：(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n 当n=1时，a1=S1=1，符合上式.所以数列{an}的通项公式为an=n. 类型三：Sn与n、an的式子即：前n项和Sn与数列项数n的 关系式 蜂暴例3：（2016?广州模拟）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*，都有2Sn=（n+1）an，求数列{an}的通项公式。 解：∵2Sn=（n+1）an，∴当n≥2时，2Sn﹣1=nan﹣1， 可得2an=（n+1）an﹣nan﹣1， ∴ 令n=2, 2S2=（2+1）a2 2(a1+a2)=（2+1）a2 解得a2=4 n=1a1=2, 方法二：倒数法 例4：已知数列满足求数列的通项公式。 例5：已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式 [解] (1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.∴－＝2 (2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，即Sn＝ 由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝（） 又∵a1＝，不适合上式． 方法三：累加法 例6 若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式． 解析： 由题意知an＋1－an＝2n，（要学会观察下标与函数中的n的关系） an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1（此步骤固定的）＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1 方法四：累乘法 例7：已知数列满足 （观察n的函数解析式与小标的关系，此题刚好与小标项数相反） 方法五：构造法（构造等比数列） 例8已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． ∴数列{an＋1}为首先a1＋1=2，公比q＝3的等比数列 ∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. 数列求和方法 方法一：利用“裂项相消法”求和 例1： 设数列{an}的前n项和Sn=2n+1，数列{bn}满足bn= （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）当n=1时，a1=S1=4--（公式法第一步先求出首项） 由Sn=2n+1，得Sn﹣1=2n，n≥2--公式法只使用与n≥2时） ∴an=Sn﹣Sn﹣1==2n，n≥2．，当n=1,an=21--(记得检验） ∴． 当n=1时，=，当n≥2时， --（用上裂项相消法的检验式子a==） -- Tn=+（+…+--(因为第一项不满足通项公式） 方法二：利用“错位相减法”求和 例2（2016?扬州校级一模）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式； 令bn=an?3n，求数列{bn}的前n项和Sn． 解：（1）∵数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n． （2）∵an=2n，∴bn=an?3n=2n?3n， ∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，① 3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2（n﹣1）×3n+2n×3n+1，② ①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1 =2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=（1﹣2n）×3n+1﹣3 ∴Sn=+． 方法三 公式法：利用等差等比数列的求和公式进行求解 例3：（2016?资阳模拟）已知公差为正数的等差数列{an}满足：a1=1，且2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列的前n项和Tn． 解：（Ⅰ） 设数列{an}的公差为d（d＞0）， 由2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列--（三项成等比数列，利用等比中项） 可得--（利用等差的通项公式转化成a1和d）则2（1+3d+1）=（1+2d﹣1）2，解得（舍去）或d=2， 所以{an}的通项公式为an=2n﹣1； （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得，b1=a2=3，b2=a5=9， 则等比数列{ ... ...
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