第79题 圆锥曲线的最值、范围问题 I．题源探究·黄金母题 【例1】已知抛物线方程为，直线过定点，斜率为．当取何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；公共点． 【方法指导】直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之． 【解析】由题意，直线的方程为． 由方程组（I） 可得．（II） （1）当时，由方程（II），得． 把代入，得． 这时，直线与抛物线只有一个公共点． （2）当时，方程（II）的判别式为． 下面分三种情况讨论： ①由，即，解得或． 于是，当或时，方程（II）只有一个解，从而方程组（I）只有一个解．这时，直线与抛物线只有一个公共点． ②由，即，解得． 于是，当且时，方程（II）有两个解，从而方程组（I）有两个解．这时，直线与抛物线只有两个公共点． ③由，即，解得或． 于是，当或时，方程（II）没有实数解，从而方程组（I）没有实数解．这时，直线与抛物线没有公共点． 综上可得： ①当或或时，直线与抛物线只有一个公共点； ②当且时，直线与抛物线有两个公共点； ③当或时，直线与抛物线没有公共点． 精彩解读 【试题来源】人教版A版选修2-1P62例5． 【母题评析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的分析问题解决问题的能力． 【思路方法】 1．直线与抛物线的位置关系的判定 联立直线和抛物线方程得． 当时， 直线与抛物线相交，有两个不同的交点； 直线与抛物线相切，只有一个公共点； 直线与抛物线相离，没有公共点． 当时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线．此时，直线和抛物线相交，只有一个公共点，但不能称为相切． 2．解决直线与抛物线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于或的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于(或)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况． II．考场精彩·真题回放 【例1】【2017课标1理10】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为 （ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】解法一：设，直线方程为．联立方程得，∴， 同理直线与抛物线的交点满足．由抛物线定义可知 ， 当且仅当（或）时，取最小值16． 解法二：如图，设直线的倾斜角为，则，则，所以 ， 当且仅当，即或时，取最小值16． 【例2】【2017高考山东理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为． （I）求椭圆的方程； （II）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率． 【解】（I）由题意知 ，，∴ ，因此 椭圆的方程为． （Ⅱ）设，联立方程得，由题意知， 且， ∴ ． 由题意知，∴，由此直线的方程为．联立方程得，因此．由题意可知 ， 而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，∴ ，因此，∴ 最大值为． 综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为． 【命题意图】这类题主要考查圆锥曲线的几何性质．这类题能较好的考查考生逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题，难度中等；也可以是解答题，作为压轴题，难度大． 【难点中心】 1．解决椭圆和双曲线的离心率的最值及范围问题其关键就是确立一个关于的等式或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的等式或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 2．对于抛物线焦点弦有关问题，要抓住抛物线定义，根据解决需要实 ... ...
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