大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科） 参考答案 1-12题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C C A B D A A B C D 13. 14. 15. 16. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为， 由已知，根据等差数列性质可知：， 所以. …………1分 因为，所以， …………2分 所以. …………3分 所以， …………4分 ， …………5分 . …………6分 （Ⅱ）当时，（），,共2项；…………7分 当时，，，共10项； …………8分 当时，，，共50项； …………9分 当时，，，共138项. ………10分 所以数列的前项和为. …………12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由列联表得：． ………… 2分 由于，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关． ………… 4分 （2）可取值0，1，2，3． ………… 5分 ， ………… 6分 ， ………… 7分 ， ………… 8分 ， ………… 9分 所以的分布列为 0 1 2 3 P ………… 10分 这人中使用国产手机的人数的数学期望为 ． ………… 12分 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：由题意可知，， ,， …………2分 所以，在△中，，所以； ………… 3分 因为平面平面且是交线，平面 ………… 5分 所以平面， 因为平面，所以 ………… 6分 解：（Ⅱ）设中点为,中点为,连接 所以，所以. 所以. 因为，所以 以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，如图 ………… 7分 则、、、， 从而，，. 设为平面的法向量， 则，可以取 ………… 9分 设为平面的法向量， 则可以取 ………… 11分 因此，，有，即平面平面， 故二面角的大小为. ………… 12分 20（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得， ………… 1分 又，解得. ………… 2分 所以椭圆的方程为. ………… 4分 （Ⅱ）设直线的方程为， 点的坐标分别为， 由，消去得， ………… 5分 ， 则， …………6分 所以， ………… 8分 因为，所以 ， 即， ………… 10分 又，所以， ………… 11分 又结合图象可知，，所以直线的斜率为定值. ………… 12分 21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为，函数定义域为： ， ………… 1分 令，由可知，， 从而有两个不同解. …………2分 令，则， ………… 3分 当时，；当时，， ………… 4分 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. ………… 5分 （Ⅱ）由题意得，当时，恒成立. 令， 求导得， ………… 6分 设，则， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以 ………… 8分 ①当时，， 此时，在上单调递增， 而，所以恒成立，满足题意. ………… 9分 ②当时，， 而， 根据零点存在性定理可知，存在，使得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以有， 这与恒成立矛盾， ………… 11分 所以实数的取值范围为. ………… 12分 22.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，，………… 1分 圆的普通方程为， 把代入方程得，， 所以的极坐标方程为； ………… 3分 的平面直角坐标系方程为； ………… 5分 （Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得： ， ………… 6分 ， ………… 7分 则的面积为 , 所以的面积为. ………… 10分 23.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由题意知，需解不等式. 当时，上式化为，解得； ………… 1分 当时，上式化为，无解； ………… 2分 当时，①式化为，解得. ………… 3分 所以的解集为. ………… 5分 （Ⅱ）当时，， ………… 6分 则当，恒成立. 设，则在上的最大值为. ………… 8分 所以，即，得. ………… 9分 所以实数的取值范围为. ………… 10分 ... ...
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