第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2017年北京市中考第29题 在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图． 特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0． （1）当⊙O的半径为1时， ①分别判断点M(2, 1)，N，T 关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标； ②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围； 图1 （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围． 例2 2017年福州市中考第22题 如图1，抛物线与x轴交于 A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求点A、B、C的坐标； （2）联结CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，联结AE、AD．求证：∠AEO＝∠ADC； （3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 图1 例3 2017年南京市中考第26题 已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）． （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D． ①当△ABC的面积等于1时，求a的值 ②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值． 第三部分图形运动中的计算说理问题答案 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2017年北京市中考第29题 在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图． 特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0． （1）当⊙O的半径为1时， ①分别判断点M(2, 1)，N，T 关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标； ②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围； 图1 （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围． 动感体验 请打开几何画板文件名“15北京29”，拖动点圆心C在x轴上运动，可以体验到，当点P′在圆内时，CP的变化范围是1＜CP≤2． 思路点拨 1．反称点P′是否存在，就是看CP′是否大于或等于0． 2．第（2）题反称点P′在圆内，就是0≤CP′＜1，进一步转化为0≤2－CP＜1． 满分解答 （1）①对于M(2, 1)，OM＝．因为OM′＝＜0，所以点M不存在反称点（如图2）． 如图3，对于N，ON＝．因为ON′＝，所以点N′的坐标为． 如图4，对于T ，OT＝2．因为OT′＝0，所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0)． 图2 图3 图4 ②如图5，如果点P′存在，那么OP′＝2－OP≥0．所以OP≤2． 设直线y＝－x＋2与x轴、y轴的交点分别为A、B，那么OA＝OB＝2． 如果点P在线段AB上，那么OP≤2． 所以满足OP≤2且点P′不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0≤x＜2． （2）由，得A(6, 0)，B．所以tan∠A＝． 所以∠A＝30°． 因为点P′在⊙C的内部，所以0≤CP′＜1． 解不等式组0≤2－CP＜1，得1＜CP≤2． 过点C作CP⊥AB于P，那么CP＝AC．所以2＜AC≤4． 所以2≤OC＜4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜4（如图6，图7所示）． 图5 图6 图7 考点伸展 第（2）题 ... ...
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