第1讲 数列的概念与简单表示法 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 考点2 数列的分类 考点3 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 考点4 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． [必会结论] 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an， 则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (2)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝.( ) (3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．[课本改编]数列1，，，，，…的一个通项公式an是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由已知得，数列可写成，，，…，故该数列的一个通项公式为.故选B. 3．[课本改编]在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.故选C. 4．已知f(1)＝3，f(n＋1)＝(n∈N*)．则f(4)＝_____. 答案 解析 由f(1)＝3，得f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝. 5．[2018·山东师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a5＋a6＝_____. 答案 解析 a5＋a6＝S6－S4＝－＝－＝. 6．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列an＝_____. 答案 3－ 解析 由题意，得an＋1－an＝＝－， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝＋＋…＋＋＋2＝3－. 板块二 典例探究·考向突破 考向 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)，1，，，…； (3)，，－，，－，，…； (4)1,3,6,10,15，…； (5)3,33,333,3333，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…， 所以an＝(－1)n·. (4)将数列改写为，，，，，…，因而有an＝，也可用逐差法a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得an＝. (5)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)． 触类旁通 观察法求通项公式的常用技巧 求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等 ... ...
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