2.1 2．1.1 指数与指数幂的运算 预习课本P48～53，思考并完成以下问题 (1)n次方根是怎样定义的？ (2)根式的定义是什么？它有哪些性质？ (3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 [点睛] 根式的概念中要求n＞1，且n∈N*. 2．根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a. ②＝ [点睛] ()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R. 3．分数指数幂的意义 分数指幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数 指数幂 规定：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 [点睛] 分数指数幂a不可以理解为个a相乘． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意实数的奇次方根只有一个．( ) (2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．( ) (3) ＝4－π.( ) (4)分数指数幂a可以理解为个a相乘．( ) (5)0的任何指数幂都等于0.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× 2.可化为( ) A．a B．a C．a D．.－a 答案：A 3．化简25的结果是( ) A．5 B．15 C．25 D．.125 答案：D 4．计算：π0＋2－2×＝_____. 答案： [例1] 化简： (1)(x＜π，n∈N*)； (2). [解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时， ＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时， ＝x－π. 综上可知，＝ (2)∵a≤，∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. 根式化简应遵循的3个原则 (1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式． [活学活用] 1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( ) A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0 解析：选B ∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0. 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B. 2．若＝，则实数a的取值范围为_____． 解析： ＝|2a－1|， ＝1－2a. 因为|2a－1|＝1－2a， 故2a－1≤0，所以a≤. 答案： [例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)；(2)a3·；(3) . [解] (1)＝＝a. (2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a. (3) ＝＝b·＝b·(－a－2) ＝－ba 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [活学活用] 3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A．－＝(－x) (x＞0) B.＝y(y＜0) C．x－＝ (x＞0) D．x－＝－(x≠0) 解析：选C －＝－x (x＞0)； ＝[(y)2]＝－y (y＜0)； x－＝(x－3)＝ (x＞0)； x＝＝(x≠0)． 4．将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a；② (a＞0)；③(a＞0)． 解：①a＝. ② ＝a·a＝a. ③原式＝a3·a·a＝a＝a. [例3] 计算下列各式： (1)0＋2－2×－－0.010.5； (2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75； (3) · (a>0，b>0)． [解] ... ...
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