专题01三角形中的三角函数-2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学备考热点难点突破练（江苏版）（必修5）

填空题 1．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝_____. 解析 根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)，解得b＝4. 答案 4 2．△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足csin A＝acos C，则角C＝_____. 解析 根据正弦定理求解．由csin A＝acos C结合正弦定理可得sin Csin A＝sin Acos C，且sin A≠0，所以tan C＝1，C∈(0，π)，故C＝. 答案 3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C．则A的取值范围是_____． 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝_____. 解析 因为8b＝5c，则由C＝2B得sin C＝sin2B＝2sin Bcos B，由正弦定理得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝. 答案 5．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是_____． 解析 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状．由正弦定理得a2＋b2＜c2，所以cos C＝＜0，所以∠C是钝角，故△ABC是钝角三角形． 答案 钝角三角形 6．在△ABC中，已知BC＝1，B＝，且△ABC的面积为，则AC的长为_____． 解析 由三角形面积公式得acsin B＝，解得c＝4，再由余弦定理得b2＝1＋16－2×1×4×＝13，所以AC的长为. 答案 7．钝角三角形的三边分别为 a，a＋1，a＋2，其中最大内角不超过120°，则实数a的取值范围是_____． 8．如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按照固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处 时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船每小时航行_____海里． 解析 连接A1B2，因为A1A2＝30×＝10，A2B2＝10，∠B2A2A1＝60°，所以△B2A2A1是等边三角形． A1B2＝10，∠B2A1B1＝45°，在△B2A1B1中，由余弦定理得B2B1＝10，乙船用时20分钟，所以乙船每小时航行30海里． 答案 30 9．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为_____． 解析 设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝，sin A＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin C＝. 答案 10．在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a，b，c，则＋的取值范围是_____． 解答题 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝，求△ABC的面积． 解 (1)因为0＜A＜π，cos A＝，得 sin A＝＝. 又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ＝cos C＋sin C. 所以tan C＝. (2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝. 设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝. 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为，且b＝，求a＋c的值； 解 (1)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，即2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(C＋B)＝sin A. 在△ABC中，0＜A＜π，sin A＞0，所以cos B＝.又因为0＜B＜π，故B＝. (2)因为△ABC的面积为，所以acsin B＝，所以ac＝3. 因为b＝，b2＝a2＋c2－2accos B，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3. 所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2. 13.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若2sin Acos C＝sin B，求的值； (2)若sin(2A＋B)＝3sin B，求的值． (2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π， 所以sin(2A＋B)＝3sin B可化为 sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]， 即－sin(A－C)＝3sin (A＋C)． 故－sin Acos C＋cos Asin C＝3 (sin Acos C＋cos Asin C)． 整理，得4sin Acos ... ...