一、解答题 1. 设函数，. 讨论函数零点的个数. 【答案】① 当时，无零点，② 当或时，有且仅有个零点，③ 当时，有两个零点. 【解析】 ， 极大值 故当时，取得最大值，作出的图象，可得 ① 当时，无零点， ② 当或时，有且仅有个零点， ③ 当时，有两个零点. 2. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设． 如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 【答案】当时, 函数有一零点； 当()，或（）时，函数有两个零点； 当时，函数有一零点. 【解析】 由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解， 若，，函数有两个零点，即 ；若，，函数有两个零点，即； 3. 已知函数. 若，函数有且只有1个零点，求的值。 【答案】1 【解析】因为函数只有1个零点，而， 所以0是函数的唯一零点. 因为，又由知， 所以有唯一解. 令，则， 从而对任意，，所以是上的单调增函数， 于是当，；当时，. 因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数. 下证. 若，则，于是， 又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾. 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 4. 设函数（其中为自然对数的底数，），曲线在点处的切线方程为. （1）求； （2）若对任意，有且只有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）实数的取值范围为. 【解析】 （2）由（1）得，， ①当时，由得，由得，此时在上单调递减，在上单调递增，∵， （或当时，亦可）∴要使得在上有且只有两个零点， 则只需，即， 6分 ②当时，由得或；由得.此时在上单调递减，在和上单调递增， 此时，∴此时在至多只有一个零点，不合题意， 9分 ③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，∴在至多只有一个零点，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 12分 5. 已知函数有两个零点. 设x1,x2是的两个零点,证明：. 【答案】 设,则． 所以当时,,而,故当时,． 从而,故． 6. 已知函数f(x)＝ax4－x2，x∈(0，＋∞)，g(x)＝f(x)－f′(x)． 若a＞1，记g(x)的两个零点为x1，x2，求证：4＜x1＋x2＜a＋4. 证明： g(x)＝f(x)－f′(x)＝ax4－x2－(4ax3－x)＝ax4－4ax3－x2＋x， 因为x＞0，由g(x)＝ax4－4ax3－x2＋x＝0得ax3－4ax2－x＋1＝0， 令φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1， 由φ′(x0)＝3ax－8ax0－＝0得3ax＝8ax0＋， 所以φ(x0)＝－ax0－x0＋. 因为φ′(x)对称轴为x＝， 所以φ′＝φ′(0)＝－＜0， 所以x0＞＞， 所以φ(x0)＝－ax0－＜0. 又φ(x)＝ax3－4ax2－x＋1＝ax2(x－8)＋x(ax2－1)＋1， 所以4＜x2＜， 所以4＜x1＋x2＜＋＝5＜a＋4. 7. 设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx. (1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值； (2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围． 解：(1) 当x∈[0，1]时，f(x)＝x(1－x)＋m＝－x2＋x＋m＝－＋m＋， 当x＝时，f(x)max＝m＋.(2分) 当x∈(1，m]时，f(x)＝x(x－1)＋m＝x2－x＋m＝＋m－， 因为函数y＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max＝f(m)＝m2.(4分) 由m2≥m＋得m2－m－≥0，又m＞1，所以m≥.(6分) 所以当m≥时，f(x)max＝m2；当1＜m＜时，f(x)max＝m＋.(8分) 当x∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x＋lnx. 因为h′(x)＝－2x＋＋1＝ ＝－＜0，(12分) 所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数， 所以h(x)＜h(1)＝0.(14分) 所以方程m＝lnx－x|x－1|有解时m≤0. 即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(－∞，0]．(16分) 8.已知函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e为自然对数的底数． (1) 当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2) ① 若存在实数x，满足f(x)＜0，求实数a的取值 ... ...
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