填空题 1. _____（小数点后保留三位小数）． 【答案】 【解析】 2. 若，则_____ . 【答案】-1 ，即， 而，故答案为. 3.展开式中的常数项为_____． 【答案】200 【解析】 根据题意，展开式的通项为， 令，有，， 令，有，， 展开式中的常数项为，故答案为. 4. 若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数之和为_____． 【答案】 5. 若的展开式中的系数为80，则_____． 【答案】 【解析】 展开式通项为， 令，则，令，则， ∴，解得， 故答案为－2. 6. 已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_____． 【答案】61 【解析】 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大， ，解得， 又， 则展开式中常数项为. 7. 二项式展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的倍,则展开式中的常数项为_____ 【答案】-10 8. 设，则＝__． 【答案】5 【解析】 由题易知： 令，可得 ∴＝5 9.的展开式中的系数为_____． 【答案】216 【解析】 中的第3项为， 即为， 所以含的系数为． 10. 设，若，则展开式中系数最大的项是_____. 【答案】. 解答题 11．已知，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:. 【答案】（1）. （2）165.（3）见解析. 【解析】 （1）由题意，所以，所以. （2）， 所以 . （3）因为，所以要得无理项，必为奇数， 所以， 要证明， 只要证明，用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当时，左边=右边， 当时，， ∴时，不等式成立. ∴结合（*）得：成立， ∴时，不等式成立. 综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立. ∴不等式成立 . 12．已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）写出它展开式中的所有有理项. 【答案】（1）. （2），，. 【解析】 （1）因为（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数 分别为，，.依题意得. 可化为， 化简得，解得或， ∵，∴. （2）展开式的通项， 所以展开式中的有理项当且仅当是6的倍数， 又，，∴或或， ∴展开式中的有理项共3项是，，. 13．（1）求的展开式中的常数项； （2）用，，，，组成一个无重复数字的五位数，求满足条件的五位数中偶数的个数. 【答案】(1)15；(2)48. 14.已知在的展开式中，所有项的二项式系数之和为.(1)求展开式中的有理项；(2)求展开后所有项的系数的绝对值之和. 【答案】(1) (2)2187. 【解析】 根据题意，， （1）展开式的通项为. 于是当时，对应项为有理项， 即有理项为 （2）展开式中所有项的系数的绝对值之和， 即为展开式中各项系数之和， 在中令x＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝2 187． 所以展开式中所有项的系数和为2187. 15．已知函数． （1）当时，若，求实数的值； （2）若，求证：． 【答案】（1） (2)见解析. （2）因为， 所以， 由题意， 首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的. 假设， 则，而，，矛盾. 所以满足条件的是唯一的. 下面我们求及的值： 因为 ， 显然. 16．已知，函数． （1）当时，展开式中的系数是25，求的值； （2）当时，…， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）5（2）128， 【解析】（1）由题可得，解得． （2）①采用赋值法：分别令相加可得． ②采用赋值法：令， 令，因此． 17.（1）设，求. （2）设，求的整数部分的个位数字. 【答案】（1）（2）的个位为. 【解析】 解：(1)因为， 所以. 已知为整数且个位数为0， 而， 所以， 所以的个位为. 18．已知二项式． （1）若它的二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项及展开式中系数最大的项； （2）若，，求二项式的值被除的余数． 【答案】（1）见解析（2 ... ...
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