【母题原题1】【2018江苏，理19】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”． （1）证明：函数与不存在“S点”； （2）若函数与存在“S点”，求实数a的值； （3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”． 【解析】解： （1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 【方法技巧】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 【母题原题2】【2017江苏，理20】已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：; （3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围. 【答案】（1）（2）见解析（3） 试题解析：解：（1）由，得. x + 0 – 0 + 极大值 极小值 故的极值点是. 从而， 因此，定义域为. 记，所有极值之和为， 因为的极值为，所以，. 因为，于是在上单调递减. 因为，于是，故. 因此a的取值范围为. 【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点 【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 【母题原题3】【2016江苏，理19】已知函数. （1）设. ①求方程=2的根； ②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值； （2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】 试题解析：（1）因为，所以. 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 【命题意图】 导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力. 【命题规律】 含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值， 基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等. 【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步： 第一步：明确目标函数，利用导数分析目标函数性质 导函数的极值点是的零点,因此导函数是目标函数,对其求导,研究其极值点取法及取 ... ...
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