专题03 不等式 1.线性规划在实际中的类型主要有： (1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高； (2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． 2．解析线性规划应用题的步骤： (1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域． (3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线． (4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案． 3.基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛． (1)基本不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤2解“定和求积，积最大”问题． (2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)＝x＋(k>0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证． 4.不等式是高考中的难点所在，其单一考查难度不大，主要跟其他知识进行综合考查，如不等式恒成立问题，含参不等式问题经常出现，在解决这类问题时需要进行分类讨论. 【热点难点突破】 例1.【2018全国3卷文】若变量满足约束条件则的最大值是_____． 【答案】3 【解析】分析：作出可行域，平移直线可得 详解：作出可行域 由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3 故答案为3. 例2.小王计划租用两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩， 与两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ） A. 1000元 B. 2000元 C. 3000元 D. 4000元 【答案】D 【解析】设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元， 则 其中x，y满足不等式组， 作出可行域： 当直线经过D点时，z最小，此时D（1,5） ∴租车所需的最少租金为 故选：D 例3.【2018天津卷】已知，且，则的最小值为_____. 【答案】 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正———各项均为正；二定———积或和为定值；三相等———等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 例4.（1）求函数的值域，并求取最大值时相应的的值. （2）若,求函数的值域. 【解析】(1)因为利用二次函数的性质可知， 函数的值域为，当x=2时，最大值是4 . （2）， ， 故其值域为. 例5.若不等式x2＋ax＋3－a>0对于满足－2≤x≤2的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【分析】 因为(x－1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y＝x2＋ax＋3－a. 【解析】 设 f(x)＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2的一切实数 x 恒有f(x)>0，只需满足： (1)Δ＝a2－4(3－a)<0； (2)或 解(1)(2)得，当－7
0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立． 例6.若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围． 【分析】 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断． 【解析】 由x2－x－2>0，得x<－1或x>2. 对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解 x1＝－，x2＝－k. (1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为 ，显然－2?. (2) 当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为?. (3)当－<－k，即k<时， 不等式的解集为. ∴不等式组的解集由 或确定． ∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k≤3， 故所求k的范围是－3≤k<2. 【方法总结】 由几个不等式组成的不等式 ... ... 
