长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期末考试 数学试题（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2.若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ） A. 真、真、真 B. 真、真、假 C. 假、假、真 D. 假、假、假 3.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 6.已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 7.由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ） A. B. C. 2 D. 8.若，设，则的值（ ） A. 至多有一个不大于1 B. 至少有一个不大于1 C. 都大于1 D. 都小于1 9.点在椭圆上，则的最大值为（ ） A.?????? B.?? ?C.???? D. 10.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11.在中，，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（ ） A. ?B.? C.? D. 12.已知函数，，若成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是_____. 14.观察下列各式：，，，则的末四位数字为_____. 15.函数在区间上的值域为_____. 16.设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线在第一象限上的一点，若，则内切圆的面积为_____. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分） 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，直线（为参数）. （1）求曲线上的点到直线距离的最小值； （2）若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.设，直线与曲线交于两点，求. 18.（本题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面，，≌，，是线段的中点． （1）求证：∥平面； （2）求二面角的余弦值． 19.（本题满分12分） 已知. （1）若，求的单调区间； （2）当时，若在上恒成立，求的取值范围. 20.（本题满分12分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且长轴长是短轴长的倍. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，过椭圆左焦点作斜率直线交于两点，若，求直线的方程. 21.（本小题满分12分） 已知抛物线：，过焦点的动直线与抛物线交于两点，线段的中点为. （1）当直线的倾斜角为时，．求抛物线的方程； （2）对于（1）问中的抛物线，设定点，求证：为定值. 22.（本小题满分12分） 已知. （1）当，时，求证：； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期末考试 数学试题（理科）参考答案 选择题（每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A D D D B B C C A 二、选择题（每题5分，共20分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解（1），圆心为，半径为； 圆心到直线距离--3分 所以上的点到的最小距离为.--5分 （2）伸缩变换为，所以--7分 将和联立，得.因为--8分 --10分 18.解：（1）证明：以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示． 则B(0,0,0)，C(0，，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，∴，，． 显然平面PAB的法向量为， 由，平面， ∴∥平面. （2）由（1）知，，，设平面的法向量为，则，取，则 ∴为平面的一个法向量． 同理：平面的法向量为 ∴，故二面角的余弦值为. 19.解（1）当时，，则， 令，解得，令，解得， 所以增区间为， ... ...
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