同步精选测试 数 列 (建议用时：45分钟) [基础测试] 一、选择题 1.下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确. 【答案】 B 2.数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( ) A.70 B.28 C.20 D.8 【解析】 由an＝ 得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20. 【答案】 C 3.若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A.an＝1＋(－1)n＋1 B.an＝1－cos nπ C.an＝2sin2 D.an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2) 【解析】 根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n＝3和4时，D选项不满足，故选D. 【答案】 D 4.已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( ) 【导学号：18082074】 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 【解析】 an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列. 【答案】 A 5.在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的( ) A.第100项 B.第12项 C.第10项 D.第8项 【解析】 ∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去). 【答案】 C 二、填空题 6.已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为_____. 【解析】 由an＝19－2n>0，得n<. ∵n∈N＋， ∴n≤9. 【答案】 9 7.已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝_____. 【导学号：18082075】 【解析】 ∴a2－a＝2， ∴a＝2或－1， 又a<0，∴a＝－1. 又a＋m＝2， ∴m＝3， ∴an＝(－1)n＋3， ∴a3＝(－1)3＋3＝2. 【答案】 2 8.如图2-1-1是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键_____个. 图2-1-1 【解析】 各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键(5n＋1)个. 【答案】 (5n＋1) 三、解答题 9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)，2，，8，，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…. 【导学号：18082076】 【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝. (2)把分母统一为2，则有，，，，，…，因而有an＝. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1). 10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2 016； (3)2 016是否为数列{an}中的项？ 【解】 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有 解得k＝4，b＝－2. ∴an＝4n－2. (2)a2 016＝4×2 016－2＝8 062. (3)由4n－2＝2 016得n＝504.5?N＋， 故2 016不是数列{an}中的项. [能力提升] 1.已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( ) A. B.5 C.6 D. 【解析】 a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5. 【答案】 B 2.已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，3) C.(－∞，2) D.(－∞，3] 【解析】 an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3 ... ...
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