21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 数列 热点一 数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例1】 (满分12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和. 教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由Sn求an，本题第(2)问源于教材必修5P47B组T4，主要考查裂项相消法求和. 满分解答 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，① 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②1分 (得分点1) ①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝，4分 (得分点2) 又n＝1时，a1＝2适合上式，5分 (得分点3) 从而{an}的通项公式为an＝.6分 (得分点4) (2)记的前n项和为Sn， 由(1)知＝＝－，8分 (得分点5) 则Sn＝＋＋…＋ 10分 (得分点6) ＝1－＝.12分 (得分点7) 得分要点 得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn. 得关键分：(1)an－1满足的关系式，(2)验证n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分. 得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7). 【类题通法】求数列通项与求和的模板 第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项. 第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和. 第三步：明确规范地表述结论. 【对点训练】设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn. 解 (1)设数列{an}的公差为d， 由题意得 解得a1＝3，d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. (2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)， ∴bn＝＝. ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn ＝ ＝ ＝－. 【例2】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn. 解 (1)设{an}的公比为q， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q）＝6，,aq＝a1q2，)) 又an>0， 解得所以an＝2n. (2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，则cn＝， 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构) 若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比) 设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减) 乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和) 将作差后的结果求和，从而表示出Tn. 【对点训练】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)由题意，得＝a1＋n－1，即Sn＝n(a1＋n－1)， 所以a1＋a2＝2(a1＋1)，a1＋a2＋a3＝3(a1＋2)，且a2＝3，a3＝5. 解得a1＝1，所以Sn＝n2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又n＝1时也满足. 故an＝2n－1. (2)由(1)得bn＝(2n－1)·3n， 所以Tn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－1)·3n， 则3Tn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)·3n＋1. ∴Tn－3Tn＝3＋2×(3 ... ...
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