21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 垂直于弦的直径 【经典例题】 知识点一 利用垂径定理证明某些结论 【例1】如图，△OAB中，OA＝OB，以O为圆心的圆交BC于点C，D。 求证：AC＝BD． 【分析】过O作OE⊥AB于E，则OE满足垂径定理，并且OE是等腰三角形底边上的高线，满足三线合一定理就可以得到． 【解答】证明：如图，过O作OE⊥AB于E， ∵OA＝OB，OE⊥AB于E ∴AE＝BE 又∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD ∴CE＝DE ∴AE－CE＝BE－DE 即AC＝BD． 知识点二 运用垂径定理求涉及弦、半径、弦心距有关线段的长 【例2】如图，已知AD是圆O的直径，BC是圆O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝16，试求DE的长． 【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：连接OB，设OB＝OA＝，则OE＝16－R， ∵AD⊥BC，BC＝16， ∴∠OEB＝90°，BE＝BC＝8， 由勾股定理得： 解得：R=10， ∴OE＝16-10＝6， ∴DE＝OD－OE＝10－6＝4． 知识点三 垂径定理应用图形及圆心位置不确定的分类讨论 【例3】已知，在半径为13的⊙O中，弦AB的长为24． （Ⅰ）如图，求点O到AB的距离； （Ⅱ）在⊙O中，弦MN的长为10，且MN∥AB，求MN与AB之间的距离 【分析】（I）如图1，作辅助线；首先求出BC的长度；直接运用勾股定理求出OC的长度，即可解决问题． （II）分两种情况进行讨论：①弦AB和MN在圆心同侧；②弦AB和MN在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解． 【解答】解：（I）如图1，连接OB，过点O作OC⊥AB于点C； 则AC＝BC＝12； 由勾股定理得：OC2＝OB2－BC2 而OB＝13，BC＝12， ∴OC＝5， 则点O到AB的距离是5； （II）分两种情况进行讨论： ①当弦AB和MN在圆心同侧时，如图2， ∵AB＝24cm，MN＝10cm， ∴AE＝12cm，MF＝5cm， ∵OA＝OM＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝OF－OE＝12－5＝7cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图3， ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AE＝12cm，MF＝5cm， ∵OA＝OM＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝OF＋OE＝12＋5＝17cm； ∴AB与MN之间的距离为7cm或17cm． 知识点四 垂径定理的实际应用 【例4】如图：水平放置的圆柱形排水管道内，水面的宽度AB＝cm，水面的最大深度为3cm，求排水管道截面圆形的半径． 【分析】过O作OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由水面高度与水面宽度求出OA的长． 【解答】解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，可得出AC＝BC＝AB=cm， 水面的最大深度为3cm，则OC＝(OA－3)cm 在Rt△AOC中，根据勾股定理得： 即 解得AO＝6cm， 答：排水管道截面圆形的半径6cm 知识点五 垂径定理在综合探究中的应用 【例5】如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m，宽AB为1m，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m，宽2.3m．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【分析】利用勾股定理求得EG，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可． 【解答】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： 根据题意可知，如图，在AD上取G，使OG＝2.3m， 过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆于点E， 则GF＝AB＝1m， 圆的半径OE＝AD＝×8＝4m， 在Rt△OEG中，由勾股定理，得 所以点E到BC的距离为 故货车可以通过该隧道． 【知识巩固】 1. 如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC＝3，则弦AB的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：连接OA， ∵OC⊥AB，OA＝5，OC＝3， ∵OC过圆心， ∴AB＝2AC＝2×4＝8． 故选：C． 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( ) A. B. C. 6 D. 8 【解答】解：连接OC， 由题意，得 OE＝OA－AE＝4－1＝3， C ... ...
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