2.1.1 合情推理 [课时作业] [A组 基础巩固] 1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72 015的末两位数字为( ) A．01 B．43 C．07 D．49 解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4. 又2 015＝4×503＋3， 所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43. 答案：B 2．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③ C．①②④ D．②④ 解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理． 答案：C 3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9 解析：等比数列中积等差数列中的和 ∴a1＋a2＋…＋a9＝2×9. 答案：D 4．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应4个图形： 那么4个图表中， 可以表示A*D，A*C的分别是( ) A．(1)，(2) B．(1)，(3) C．(2)，(4) D．(1)，(4) 解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)． 答案：C 5．n个连续自然数按规律排列下表： 根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( ) A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2 015到2 017为→↓，故应选D. 答案：D 6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是_____． 解析：观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝， ∴第7个三角形数为＝28. 答案：28 7．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为_____． 解析：＝＝·＝×＝. 答案：1∶8 8．设函数f(x)＝(x>0)， 观察：f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝，…… 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝_____. 解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝. 答案： 9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论． 解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直侧面垂直． 直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则S＋S＋S＝S”． 10．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式． 解析：当n＝1时，a1＝1 当n＝2时，a2＝＝； 当n＝3时，a3＝＝； 当n＝4时，a4＝＝. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：an＝(n＝1,2，…)． [B组 能力提升] 1．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( ) A．a100＝－a，S100＝ ... ...
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