21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 直线和圆的位置关系 【经典例题】 知识点一 直线和圆的位置关系 【例1】已知在直角坐标平面内，以点P（－2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相离、相切、相交都有可能 【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出选项即可． 【解答】解：∵点P的坐标为（－2，3） ∴点P到x轴的距离是3 ∵2＜3 ∴以点P（－2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离， 故选：A． 知识点二 切线判定方法灵活运用 【例2】如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作圆O，交斜边AC于点D，连结BD，取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切。 【分析】连接OD，OE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE＝BE，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODE为直角，即可得证． 【解答】证明：连接OD，OE 在Rt△BDC中，E为BC的中点 ∴DE＝BE＝CE＝BC 在△OEB和△OED中 ∴△OEB≌△OED（SSS） ∴∠ODE=∠OBE=90° 则DE与圆O相切 知识点三 切线性质、判定的综合运用 【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径 【分析】（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可； （2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切 理由是：连接OD ∵OA＝OD ∴∠OAD＝∠ODA ∵AD平分∠CAB ∴∠OAD＝∠CAD ∴∠ODA＝∠CAD ∴OD∥AC ∵∠C＝90° ∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC ∵OD为半径 ∴线BC与⊙O的位置关系是相切； （2）设⊙O的半径为R 则OD＝OF＝R 在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2 即 解得：R＝2 即⊙O的半径是2 知识点三 切线长定理 【例4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为C，交PA、PB于点E、F．若PA＝12cm，则△PEF的周长为_____；若∠P＝40°，则∠EOF的度数为_____。 【分析】根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，由PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF即可求出答案；连接OE，OF，求出∠OEF＋∠OFE的度数，即可得出∠EOF的度数； 【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， 又∵直线EF是⊙O的切线， ∴EB＝EQ，FQ＝FA， ∴C△PEF＝PE＋PF＋EF＝PE＋PF＋EB＋FA＝PA＋PB＝2PA＝24cm； 连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE， 则∠OEF＋∠OFE＝(∠P＋∠PFE)＋∠(P＋∠PEF)＝(180°＋40°)＝110° ∴∠EOF＝180°－110°＝70°． 知识点四 三角形的内切圆、内心、外切三角形 【例5】如图，已知△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，AB边上的高CD＝，求△ABC内切圆的半径。 【分析】根据三角形的面积公式，据此即可求解． 【解答】解：设内切圆的半径是r ∵ 即 ∴r＝ 总结：三角形内切圆的有关计算中，常用到以下结论：①设△ABC三边为a、b、c，面积为S，则内切圆半径；②若△ABC为直角三角形（∠C＝90°）则或；③AF＝AD＝S－a，BE＝BD＝S－b，CF＝CE＝S－c。() 【知识巩固】 1. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2 ∵3＞2，即：d＜r ∴直线l与⊙O的位置关系是相交 故选：A． 2. 如图，PB为圆O的切线，B为切点，连接PO交圆O于点A，PA＝2，PO＝5，则PB的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【解答】解：连接OB，则OB⊥PB， 在Rt△POB中， OB＝OA＝PO－AP＝3，PO＝5 ∴ 故选：A 3. ... ...
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