2018年高考数学（理）母题题源系列（天津专版）专题19+圆锥曲线的几何性质及其综合应用

母题十九 圆锥曲线的几何性质及其综合应用 【母题原题1】【2018天津，理19】 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且． （I）求椭圆的方程； （II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q． 若(O为原点)，求k的值． 【考点分析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分． 【答案】（I）；（II）或． 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知有， 又由，可得．由已知可得，，， 由，可得，从而，椭圆的方程为． （Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为． 易知直线的方程为，由方程组消去，可得． 由，可得，两边平方，整理得， 解得，或，的值为或 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【母题原题2】【2017天津，理19】 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为． （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1），；（2），或． 【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程． 或．由点异于点，可得点．由，可得直线的方程为，令，解得，故．∴．又∵的面积为，故，整理得，解得，∴．∴直线的方程为，或． 解法二：设则从而直线的方程为，代入椭圆方程，整理得．两根之积为 代入，得．∴直线的方程为：，即．令，得，解得． 解得直线的方程为或，即，或． 【考点】直线与椭圆综合问题 【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键． 【母题原题3】【2016天津，理19】 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为． （Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为．设，由方程组，消去，整理得．解得，或，由题消去，解得．在中，，即，化简得，即，解得或．所以直线的斜率的取值范围为． 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【母题原题4】【2015天津，理19】 已知椭圆的左焦点为，离心率为， ... ...