母题十 二项式定理 【母题原题1】【2018天津，理10】 在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 【母题原题2】【2016天津，理10】 的展开式中x2的系数为_____．(用数字作答) 【答案】 【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为． 【母题原题3】【2015天津，理12】在 的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力． 【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查． 【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下三步： 第一步：首先求出二项展开式的通项 展开式通项为； 第二步：根据已知求 令可得：， 第三步：得出结论 的系数为：． 【方法总结】 1．熟记二项式定理及通项 （1）定理 公式叫做二项式定理． （2）通项 为展开式的第项． 2．活用二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即． （2）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的． 当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值． 当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （3）各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于，即． 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即． 3．求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出来，即得． 4．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如、的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可． 5．若，则： 展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为． 6．某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与的取值有关，而二项式系数与的取值无关． 1．【2018天津耀华一模】在展开式所得的的多项式中，系数为有理数的项有（ ） A．16项 B．17项 C．24项 D．50项 【答案】B 【解析】展开式的通项为，其中r=0，1，2…100， 要使系数为有理数则需要r是6的倍数， ∴r=0，6，16，18，…96共17个值， 故系数为有理数的项有17项． 本题选择B选项． 【名师点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 2．【2018江西六校联考】已知数列为等差数列，且满足．若展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 3．【2018北京海淀模拟】二项式的展开式的第二项是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据展开式通项可得： 4．【2018广东阳揭二模】已知的展开式中常数项为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果． 详解： 展开式的通项公式为： ， 令可得： ，结合题意可得： ，即．本题选择C选项． ... ...
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