21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 对数函数 【考点梳理】 1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． (2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【考点突破】 考点一、对数的运算 【例1】计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log35·log259·lg 5＝( ) A．1 B．0 C．2 D．4 [答案] B [解析] 原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－··lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 【类题通法】 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 【对点训练】 (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝_____. [答案] 2 [解析] 原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 考点二、对数函数的图象及应用 【例2】(1)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( ) (2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2
1时，函数f(x)单调递增，所以只有选项B正确． 法二：函数f(x)＝lg(|x|－1)的图象可由函数y＝lg x的图象向右平移1个单位，然后再关于y轴对称得到．由y＝lg x的图象可知选B. (2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，所以1
