21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 等比数列及其前n项和 【考点梳理】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a； (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 【考点突破】 考点一、等比数列的基本运算 【例1】(1)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝_____. (2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝_____. [答案] (1) －8 (2) 6 [解析] (1)由{an}为等比数列，设公比为q. 由得 显然q≠1，a1≠0， 得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1， 所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8. (2)由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列， 由Sn＝＝126，解得n＝6. 【类题通法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 【对点训练】 1．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为( ) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 [答案] C [解析] 根据已知条件得 ②÷①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. 2．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于_____． [答案] 2n－1 [解析] 设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1. 考点二、等比数列的判定与证明 【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． [解析] (1)∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn. 由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－， 从而cn≠0，∴＝. ∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列. (2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n， 又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n， ∴当n≥2时， bn＝an－an－1＝1－n－＝n. 又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝n. 【类题通法】 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【对点训练】 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. [解析] (1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{an}是首项为，公比为的等比数列， 于是an＝n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n. 由S5＝得1－5＝，即5＝. 解得λ＝－1. 考点三、等比数列的性质及应用 【例3】(1)等比数列{an}的各项 ... ...
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