21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量的基本定理及坐标表示 【考点梳理】 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y. 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线 x1y2－x2y1＝0. 【考点突破】 考点一、平面向量基本定理及其应用 【例1】(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( ) A． B． C． D． (2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝_____. [答案] (1) A (2) [解析] (1)如图所示，＋＝(－)＋(＋) ＝＋＝＋＝(＋)＝. (2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋， 于是得解得 所以λ＋μ＝. 【类题通法】 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【对点训练】 1．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝( ) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ [答案] C [解析] 如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 2．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O， E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝_____. [答案] [解析] 由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 考点二、平面向量的坐标运算 【例2】(1)向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为( ) A．(－3，4) B．(3，4) C．(3，－4) D．(－3，－4) (2)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] (1)A (2)D [解析] (1)由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)， 得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b＝(－6，8)＝(－3，4)，故选A. (2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴解之得λ＝－2且μ＝－，因此，＝＝4，故选D. 【类题通法】 1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用. 2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 【对点训练】 1．已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为( ) A．(7，4) B．(7，14) C．(5，4) D．(5，14) [答案] D [解析] 设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5). 由＝3a，得解得 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为_____. [答案] － ... ...
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