2019高考数学考点突破--29平面向量的数量积（解析版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量的数量积 【考点梳理】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 【考点突破】 考点一、平面向量数量积的运算 【例1】(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－　　　 B．　　　 C．　　 　D． (2)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为_____. [答案] (1)B　(2) 6 [解析] (1)如图所示，＝＋. 又D，E分别为AB，BC的中点， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 则·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝.故选B. (2)设P(cos α，sin α)， ∴＝(cos α＋2，sin α)， ∴·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号. 【类题通法】 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补. 【对点训练】 1．线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝(　　) A．－　　 B． C．－　 　 D． [答案] A [解析] 由等边三角形的性质得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故选A. 2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_____；·的最大值为_____． [答案] 1　1 [解析] 法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0，1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值为1. 法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1， 当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1， 所以(·)max＝||·1＝1. 考点二、平面向量的夹角与垂直 【例2】(1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝_____. (2)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　) A．－7 B．－3 C．2 D．3 (3)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_____. [答案] (1)2　(2)D　(3)∪ [解析] (1)由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2. (2)依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3. (3)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0， 即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3. 又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－. 当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 即2a－3b与c反向. 综上，k的取值范围为∪. 【类题通法】 1.根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝ ... ...