21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 空间点、直线、平面之间的位置关系 【考点梳理】 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a α 3．平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角． (2)范围：. 【考点突破】 考点一、平面的基本性质 【例1】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ [解析] (1)由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD. 又BC綉AD， ∴GH綉BC， ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)∵BE綉AF，G为FA的中点， ∴BE綉FG， ∴四边形BEFG为平行四边形， ∴EF∥BG. 由(1)知BG綉CH， ∴EF∥CH， ∴EF与CH共面. 又D∈FH， ∴C，D，F，E四点共面. 【类题通法】 1．证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面． (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． 2．证明点共线问题的常用方法： (1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上． (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 【对点训练】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线. [解析] 如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O， ∵BB1綉DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形. 又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D， 则H∈平面BB1D1D， ∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 故D1，H，O三点共线. 考点二、空间直线的位置关系 【例2】(1)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( ) A．①④ B．②③ C．③④ D．①② (2)如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线MN与AC是异面直线. 其中正确的结论为_____．(注：把你认为正确的结论序号都填上) [答案] (1) A (2) ③④ [解析] (1)对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b M，a∥b，则a∥M或a M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题． (2)由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1是异面直线，MN与AC是异面直线． 【类题通法】 1．异面直线的判定方法： (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 ... ...
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