第17章 几种特殊的三角形 【知识衔接】 ———初中知识回顾——— 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一，因而在等腰中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上． 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心． ———高中知识链接——— 等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质 直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半 在有角的直角三角形中，角所对的直角边必为斜边的一半 【经典题型】 初中经典题型 1、在中， 求：（1）的面积及边上的高； （2）的内切圆的半径； （3）的外接圆的半径． 解：（1）如图，作于． 为的中点， , 又,解得． （2）如图，为内心，则到三边的距离均为，连， ， 即， 解得． （3）是等腰三角形， 外心在上，连，则中， 解得 2、如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点．求证：． 证明：过A作于D． 在中，． 在中，． ． ． ． 3、已知等边和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，的高为，“若点P在一边BC上，此时，可得结论：．” 解：（1）当点P在内时， 法一：如图，过P作分别交于， 由题设知，而， 故，即． 法二：如图，连结PA、PB、PC，， ， 又，，即． （2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：． 点睛：在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法． 高中经典题型 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正确结论的个数是（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C 【解析】解：①∵在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1 ∴AB=（所以①正确） ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， ∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC， ∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CE=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位线， ∴GC=AC=MH，故②正确； ③如图2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 将△ACF顺时针旋转90°至△BCD， 则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠BDE=90°， ∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误； ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE， ∵∠A=∠5=45°， ∴△ACE∽△BFC， ∴=， ∴AF?BF=AC?BC=1， 由题意知四边形CHMG是矩形， ∴MG∥BC，MH=CG， MG∥BC，MH∥AC， ∴=；=，即=；=， ∴MG=AE；MH=BF， ∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=， 故④正确．故选：C． 2．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE． （1）如图1，求证：△BCE≌△DCE； （2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB． ①求证：DE⊥FG； ②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②DE=2（﹣1） 【解析】试题分析：（1）利用判定定理（SAS）可证； （2）①利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG=90°即可； ②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长． （2）①∵由（1）可知△BCE≌△DCE， ∴∠FDE=∠FBC 又∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF， 又∵FG=FB， ∴∠FGB=∠FBG， ∴∠DFG=∠CFB， 又∵∠FCB=90°， ∴∠CFB+∠CBF=90°， ∴∠EDF+∠DFG=90°， ∴DE⊥FG ... ...
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