第四章 方程与不等式 第1讲 简单的二次方程组的解法--精讲深剖 本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。 在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 【知识梳理】 1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组， 叫做二元二次方程组。 3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 探究1: 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 【典例解析】解方程组 【分析】由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去． 【解析】 由(1)变形得： (3) 将(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程组的解是：． 【解题反思】 (1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； ⑤写出答案． (2) 消，还是消，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程，可以消去，变形得，再代入消元． (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记． 【变式训练】解方程组 【分析】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把、看成是方程 的两根，则更容易求解． 【点评】(1) 对于这种对称性的方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如． (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解． 探究2:由两个二元二次方程组成的方程组 （1）可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成． 【典例解析】解方程组 【分析】注意到方程，可分解成，即得或，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程． 【解题反思】由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程． 【变式训练】解方程组 【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为上例． 【解析】(1) –(2)得： 即 ∴ ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：． 【点评】若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组． （2）可消二次项型的方程组 【典例解析】解方程组 【分析】注意到 ... ...
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