集合的含义与表示81张PPT

课件81张PPT。第3章 集合 3.1 集合的概念与表示法 3.2 集合的运算与性质 3.3 集合的划分与覆盖 3.4 排列与组合 3.5 归纳原理 3.6 容斥原理和抽屉原理 3.7 递推关系 3.8 集合论在命题逻辑中的应用 2018-9-263.1 集合的概念与表示法 3.1.1 集合的概念 集合作为数学的一个基本而又简单的原始概念，是不能精确定义的。一般我们把一些确定的互不相同的对象的全体称为集合，集合中的对象称为集合的元素。通常用大写字母(如A、B等)表示集合，用小写字母(如a、b)表示集合中的元素。 给定一个集合A和一个元素a，可以判定a是否在集合A中。如果a在A中，我们称a属于A，记为a∈A。否则，称a不属于A，记为a?A。 例如，某大学计算机系的全体学生、所有自然数等都是集合。2018-9-26由集合的概念可知，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性和抽象性的特征。其中： (1)确定性是指：一旦给定了集合A，对于任意元素a，我们就可以准确地判定a是否在A中，这是明确的。 (2)互异性是指：集合中的元素之间是彼此不同的。即集合{a，b，b，c}与集合{a，b，c}是一样的。 (3)无序性是指：集合中的元素之间没有次序关系。即集合{a，b，c}与集合{c，b，a}是一样的。 (4)抽象性是指：集合中的元素是抽象的，甚至可以是集合。如A＝{1，2，{1，2}}，其中{1，2}是集合A的元素。2018-9-26集合是多种多样的，我们可以根据集合中元素的个数对其进行分类。集合中元素的个数称为集合的基数，记为|A|。当|A|有限时，称A为有限集合；否则，称A为无限集合。 下面将本书中常用的集合符号列举如下： N：表示全体自然数组成的集合。 Z：表示全体整数组成的集合。 Q：表示全体有理数组成的集合。 R：表示全体实数组成的集合。 Zm：表示模m同余关系所有剩余类组成的集合。2018-9-263.1.2 集合的表示法 表示一个集合通常有两种方法：列举法和谓词表示法。 1. 列举法(或枚举法) 列举法就是将集合的元素全部写在花括号内，元素之间用逗号分开。例如：A＝{a，b，c}，B＝{0，1，2，3，…}。 列举法一般用于有限集合和有规律的无限集合。 2. 谓词表示法(或描述法) 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性。通常用{x|p(x)}来表示具有性质p的一些对象组成的集合。例如：{x|1≤x≤6∧x为整数}为由1、2、3、4、5、6组成的集合。 下面讨论集合之间的关系。2018-9-263.1.3 集合的包含与相等 包含与相等是集合间的两种基本关系，也是集合论中的两个基本概念。两个集合相等是按照下述原理定义的。 外延性原理 两个集合A和B是相等的，当且仅当它们有相同的元素。记为A＝B。 例如，若A＝{2，3}，B＝{小于4的素数}，则A＝B。 定义3.1 设A和B为两个集合，若对于任意的a∈A必有a∈B，则称A是B的子集，也称A包含于B或B包含A，记作A?B。如果B不包含A，记作AB。B包含A的符号化表示为： A?B??x(x∈A→x∈B)。 例如，若A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，则B?A且C?A，但CB。 2018-9-26定理3.1 集合A和B相等当且仅当这两个集合互为子集。即：A＝B?A?B∧B?A。 证明 若A＝B，则A和B具有相同的元素，于是?x(x∈A→x∈B)、?x(x∈B→x∈A)都为真，即A?B且B?A。 反之，若A?B且B?A，假设A≠B，则A与B元素不完全相同。不妨设有某个元素x∈A但x?B，这与A?B矛盾，所以A＝B。 这个定理非常重要，是证明两个集合相等的基本思路和依据。 2018-9-26定理3.2 设A、B和C是三个集合，则： (1)A?A。 (2)A?B∧B?C?A?C。 证明 (1)由定义显然成立。 (2)A?B∧B?C??x(x∈A→x∈B)∧?x(x∈B→x∈C)??x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C))??x(x∈A→x∈C)?A?C。 定义3.2 设A和B是两个集合，若A?B且B中至少有一个元素b使得b?A，则称A是B的真子集，也称A真包含于B或B真包含A，记作A?B。否则，记作A?B。B真包含A的符号化表示：201 ... ...