第5讲 函数的单调性与最值（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1.函数单调性的概念 理解函数的单调性及判定、及几何意义 Ⅰ 选择题，填空题，大题某小问 2.函数的最值 求函数最值、证明及求单调区间 Ⅱ 选择题，填空题，大题某小问 3.函数的性质 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质 Ⅱ 选择题，填空题，大题某小问 1．函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是 的 图象描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为 ． 单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x1，x2∈[a，b]，那么 ①＞0?f(x)在[a，b]上是 ； <0?f(x)在[a，b]上是 ． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在[a，b]上是 ； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x)在[a，b]上是 ． 复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“ ”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为 ，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为 ． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 . ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为 M为 函数的最大值（最大值）实际上是函数图像的 ，因此，当函数图像易得时，可以根据函数图像直观求出函数的最值 利用函数的单调性求最值时，注意函数的单调性对函数最值的影响。即对于定义在[m,n]上的函数f（x），若f（x）单调递增，则f（x）的最大值为f（n），最小值为f（m）。若f（x）单调递增，则f（x）的最小值为f（n），最大值为f（m）。 函数的最值与值域有着密切关系，如果在函数的值域中存在最大数（最小数），这个数就是函数的 ，因此可以借助函数的值域的求法确定最值。 函数单调性的判断 (1) ：取值、作差、变形、定号、下结论． (2) ：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3) ：利用导数研究函数的单调性． (4) ：利用图象研究函数的单调性． (5) ：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 恒成立问题与存在性问题 （1）解决恒成立问题的关键是将其等价转化，使之转化为 ， ，使问题得到解决。用函数思想作指导，解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的： A．恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于； 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于。 B．能成立问题--存在性问题 若在区间上存在实数使不等式成立，即在区间上能成立，则等价于函数在区间上的最大值大于A。 若在区间上存在实数使不等式成立，即在区间上能成立，则等价于函数在区间上的最小值小于。 C．恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为。 3．利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围) 函数在某个区间上单调递增或者递减，可转化为 的问题。 考点一、函数单调性的判断 【例1】若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 【答案】B 【解析】∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数， ∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0， ∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数． 【类题通法】 函数单调性判断方法 1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． 2．导数法(基本步骤为求定义域、求 ... ...
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