第24讲 平面向量的基本定理及坐标表示(原卷版) 考点 内容解读 要求 常考题型 1平面向量的概念和向量相等的含义． (1)理解平面向量的有关概念及向量的表示方法． I 选择题 2．．向量加法、减法的运算 (2)掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义． II 选择题 3．两个向量共线定理及线性运算 (3)理解两个向量共线的含义． (4)了解向量线性运算的性质及其几何意义． II 选择题 知识点一：平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ ． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 知识点二：平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，a－b＝ ， λa＝ ，|a|＝ ． (2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ ． 知识点三：平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b? ． 考点一：平面向量基本定理 例1：如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，． 【解析】法一：设＝a，＝b， 则a＝＋＝d＋，b＝＋＝c＋． 将②代入①，得a＝d ＋， ∴a＝d－c＝(2d－c)，③ 将③代入②，得b＝c＋×(2d－c)＝(2c－d)． ∴＝(2d－c)，＝(2c－d)． 法二：设＝a，＝b． 因M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b， ＝a，因而? 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 类题通法： 1．先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． 2．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． 变式训练： 1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 2．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则等于( ) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 3．(2016·南昌模拟)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，即λ＋μ的值为_____． 考点二：平面向量的坐标运算 例2 ：(2018·广东六校联考)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( ) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 【解析】由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，所以解得所以c＝(－23，－12)． 【答案】 A 类题通法： 1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标。 2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解。 （1）巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用. （2）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 变式训练： 1．(2015·高考江苏卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为_____． 2．(2017·西宁期末)若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝( ) A．(2，2) B．(－2，－2) C．(4，6) D．(－4，－6) 考点三：平面向量共线的坐标表示 例3：(2018·江苏五市联考)已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x ... ...
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