中小学教育资源及组卷应用平台 弧长和扇形面积 【经典例题】 知识点一 利用弧长公式计算弧长 【例1】如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为（ ） A. B. C. 2π D. 【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式＝，可得结果 【解答】解：连接OD， ∵∠ABD＝30°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝60°， ∴∠BOD＝120°， ∴的长＝ 故选：D 【例2】已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是_____m．(结果保留π) 【分析】O经过的路线是两个半径是3，圆心角为45°的弧，平移的距离是半径为3，圆心角是270°的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【解答】解：∠AOB＝360°－270°＝90°，则∠ABO＝45°， 则∠OBC＝45°， O旋转的长度是： O移动的距离是： 则圆心O所经过的路线长是： 知识点二 利用扇形面积公式进行计算 【例3】已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，进而得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形－S△ODC即可求得． 【解答】解：连接OD、OC， ∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°， ∵CE＝BC， ∴∠DBC＝∠CEB＝45°， ∴∠DOC＝2∠DBC＝90° ∴ 故选：A 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 【例4】如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)，若∠ABC＝30°，BC＝ ，则这个圆锥底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【分析】连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，再计算出∠BAC＝120°，AB＝2，设这个圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可 【解答】解：连接OA，如图 ∵AB＝AC，OB＝OC＝BC＝ ∴AO⊥BC ∵∠ABC＝30° ∴∠BAC＝120°，AO＝OB＝1 ∴AB＝2OA＝2 设这个圆锥底面圆的半径为r 解得 故选：A 知识点四 圆锥侧面展开图与最短距离问题 【例5】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是8π，则 ∴n＝120° 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度 ∴∠APB＝60° ∵PA＝PB ∴△PAB是等边三角形 ∵C是PB中点 ∴AC⊥PB ∴∠ACP＝90度 ∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6 ∴在圆锥侧面展开图中 最短距离是cm 【知识巩固】 1. 已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（ ） A．120° B．60° C．40° D．20° 2. 若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ） A．60π B．65π C．78π D．120π 3. 将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ） A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm 4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分图形的面积为（ ） A．4π B．2π C．π D． 5. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝，则的长是（ ） A. π B. C. 2π D. 【培优特训】 6. 如图，将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针 ... ...
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