专题强化训练(二) 推理与证明 (建议用时：45分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( ) A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错 A [推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数；当a＞1时，y＝ax是增函数．故选A.] 2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( ) A．假设是有理数 B．假设是有理数 C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数 D [应对结论进行否定，则＋不是无理数，即＋是有理数．] 3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( ) A.＋＋＝1 B.＋＋＝1 C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1 A [类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．] 4．下面四个推理不是合情推理的是( ) A．由圆的性质类比推出球的有关性质 B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分 D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 C [逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．] 5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定 ( ) A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正负都可能 A [f(x)＝x3＋x是奇函数且在R上是增函数， 由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)． 可得f(a)＋f(b)>0. 同理f(a)＋f(c)>0，f(a)＋f(c)>0. 所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A]． 二、填空题 6．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为_____. [解析] 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1. [答案] 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 7．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图2-2所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图2-2截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是_____． 图2-2 [解析] 类比如下：正方形?正方体；截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方?三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.(这个结论是正确的，证明略) [答案] S2＝S＋S＋S 8．观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝_____. [解析] 由已知中的等式：×＝1－ ×＋×＝1－， ×＋×＋×＝1－，…， 所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－. [答案] 1－ 三、解答题 9. 已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证a，b中至少有一个是非负数． [解] 假设a，b中没有一个是非负数，即a＜0，b＜0，所以 a＋b＜0. 又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 所以，a，b中至少有一个是非负数． 10．已知a＋b＋c＝abc，求证：＋＋＝. [证明] 欲证原式，即证：a(1－b2)(1－c2)＋b(1－a2)(1－c2)＋c(1－a2)(1－b2)＝4abc 左边全部展开 ... ...
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