第32讲 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题(解析版） 考点 内容解读 要求 常考题型 二元一次不等式（组）表示平面区域 掌握确定平面区域的方法(线定界．点定域) Ⅰ 选择题 简单的线性规划问题 理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合 Ⅱ 选择题．填空题 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0； ②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0； ③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0． 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名 称 意 义 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1：直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【解析】由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)， 且斜率k＝－2＜kAB＝－，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)． 【答案】 B 类题通法 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 变式训练 1．已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )． A．1 B．－3 C．1或－3 D．0 【解析】 其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0，2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1． 【答案】A 考点2 求线性目标函数的最值 例2：已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)则z＝O·O的最大值为( )． A．3 B．4 C．3 D．4 【解析】画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝O·O＝x＋y，∴y＝－x＋z，令l0：y＝－x，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4． 【答案】B 类题通法 求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 变式训练 1．已知变量x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是( )． A． B． C． D． 【解析】画出x．y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－，∴a＞． 【答案】D 考点3 求非线性目标函数的最值 例3：变量x．y满足 (1)设z＝，求z的最小值； (2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围． 【解析】由约束条件 作出(x，y)的可行域如图所示． 由解得A． 由解得C(1,1)． 由解得B(5,2)． 【答案】（1）∵z＝＝．∴z的值即是可行域 ... ...
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