高考一轮复习学案 第28讲 等差数列及其前n项和 （原卷+解析卷）

第28讲 等差数列及其前n项和（原卷版） 考点 考纲解读 要求 常见题型 1.等差数列基本量的运算 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． II 选择题、填空题 2.等差数列的判定与证明 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． II 解答题 3.等差数列的性质及应用 了解等差数列的性质并能应用性质解题了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. II 选择题、填空题、解答题 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的前一项的差等于 　，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的　 　，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝　 　. 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝　 　. 通项公式的推广：an＝am＋　 　(m，n∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝　na1＋d　(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 3．等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是　 　数列；当d＜0时，{an}是　 　数列；当d＝0时，{an}是　 　. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 　的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 4．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最　 　值； 若a1＜0，d＞0，则Sn存在最　 　值． 考点一　等差数列基本量的运算 考向一　求公差d、项数n或首项 例1．(2017·课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．4　　　 D．8 【解析】设公差为d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝48，联立，解得d＝4，故选C. 秒杀【解析】因为S6＝＝3(a3＋a4)＝48， 即a3＋a4＝16，则(a4＋a5)－(a3＋a4)＝24－16＝8， 即a5－a3＝2d＝8，解得d＝4，故选C. 【答案】　C 变式训练 1．(2018·西安质检)公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中第_____项的值与4a5的值相等． 2．(2018·海淀质检)等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为(　　) A．14　　　 B．18　　　 C．2　　　 D．7 考向二　求通项an或特定项 例2．(2018·长春中学联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1(n∈N*)，则它的通项公式是_____． 【解析】　由题意知：当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，Sn＝n2＋1　① Sn－1＝(n－1)2＋1　②，所以利用①－②得：an＝Sn－Sn－1＝2n－1.故答案为：an＝ 【答案】　an＝ 变式训练 1．已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn＝(an＋2)2. (1)求证{an}是等差数列； (2)设bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值． 考向三　求等差数列的前n项和 例3．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 【解析】法一：数列{an}为等差数列，设公差为d， ∴a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝3， ∴a1＋2d＝1， ∴S5＝5a1＋×d＝5(a1＋2d)＝5. 法二：数列{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3， ∴a3＝1， ∴S5＝＝＝5. 【答案】A 类题通法 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题． 变式训练 1．(2017· ... ...