2018-2019学年九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定《矩形》知识讲解及例题演练（含答案）

矩形 【学习目标】 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形的性质 1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ． 【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ． 【答案与解析】 证明：(1)∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°． ∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°， ∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°． ∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30° (2)∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC． ∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB． ∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC． ∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ． 【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可． 举一反三： 【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处． (1)求证：； (2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明． 【答案】 证明：(1)由折叠可得． ∵ AD∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴ ． (2)猜想．理由： 由题意，得，． 由(1)知． 在中，∵ ，，，， ∴ ． 2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE． 【答案与解析】 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD． ∴ AO＝BO． ∵ AE平 ... ...