2018--2019学年九年级数学上册第四章图形的相似知识讲解及例题演练（新版）北师大版（含解析）

图形的位似--知识讲解 【学习目标】 1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小； 2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化. 【要点梳理】 要点一、位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点诠释： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 要点二、坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【典型例题】 类型一、位似多边形 1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）. A. B. C. D. 【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【答案】D 【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D． 【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 举一反三 【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的（ ）. 3倍 B. C. D. 不知AB的长度，无法判断 【答案】C 2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍. 【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比 为1.5. 画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE. 3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′. 这样：＝＝＝＝＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧. 【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 举一反三 【变式】在已知三角形内求作内接正方形． 【答案与解析】 作法： （1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC； （2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′； （3）连接BF′，延长交AC于F； （4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD； ∴四边形DEFG即为所求． 类型二、坐标系中的位似图形 3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点 ... ...