一、分组转化法求和 例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1也满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. 点拨 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 巩固1（1）已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn. （2）（2018天津文）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 二、错位相减法求和 例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 【解析】 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d.由 即可解得所以bn＝3n＋1. 点拨 错位相减法求和时的注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 巩固2设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； (2) 当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 三、裂项相消法求和 例3 Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝. 变式：（2018天津理）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【解析】（1）设等比数列的公比为．由，， 可得因为，可得，故， 设等差数列的公差为，由，可得， 由，可得，从而，，故， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为． 【答案】（1），；（2）①；②证明见解析． 巩固3在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an. (1)求Sn的表达式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. 例4 已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝_____. 【解析】 由f(4)＝2，可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝. ∴an＝＝＝－， S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017 ＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－) ＝－1. 【答案】 －1 点拨 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项． (2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． 巩固4已知数列{an}的通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为_____． 答案与解析 （2）【解析】（1）设等比数列 的公比为，由，，可得． 因为，可得，故．所以，． 设等差数列的公差为．由，可得．由， 可得，从而，，故，所以，． （2）由（1），有，由可得， 整理得，解得（舍），或．所以的值为4． 【答案】（1），；（2）4． 巩固2【解析】 (1)由题意有即 解得或故或 (2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是 T ... ...
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