2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程 学习目标：1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明． (2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ [提示] (1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆． (2)充要条件是f(x0，y0)＝0. 2．求曲线方程的步骤 [基础自测] 1．思考辨析 (1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．( ) (2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．( ) (3)方程y＝与方程y＝(x>0)是同一条曲线的方程．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上 B．在直线l上，也在曲线C上 C．不在直线l上，也不在曲线C上 D．不在直线l上，但在曲线C上 B [将点M的坐标代入直线l，曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．] 3．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为( ) 【导学号：46342051】 A．x＋y＝4 B．x－y＝4 C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4 D [点M(x，y)到两坐标轴的距离分别为|x|和|y|，故选D.] [合 作 探 究·攻 重 难] 曲线与方程的概念 (1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是 ( ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： ①过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； ②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； ③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [解析] (1)根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错． [答案] (1)B (2)①过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． ②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. ③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. [规律方法] 1.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可． 2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程． [跟踪训练] 1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( ) 【导学号：46342052】 A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0 B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y) ... ...
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