思维特训(一) 正方形的旋转变换 解决与正方形旋转有关的题目，需要将旋转的性质与正方形的性质相结合，通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路． 1．如图1－S－1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，连接EE′，则下列判断不正确的是( ) 图1－S－1 A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE′ C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形 2．如图1－S－2，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2，其中正确的结论是_____(填序号)． 图1－S－2 3．如图1－S－3，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么． 图1－S－3 4．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A，点G，E分别在线段AD，AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，如图1－S－4，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由． 图1－S－4 5．如图1－S－5，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究图中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系． (1)猜想图①中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系； (2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②、如图③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断． 图1－S－5 6．如图1－S－6①，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与点A，C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1)求证：BP＝DP. (2)如图②，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP＝DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明． (3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并给出证明． 图1－S－6 7．如图1－S－7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度n后得到正方形AEFG，边EF与CD相交于点O. (1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段(正方形的对角线除外)，要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由； (2)若正方形的边长为2 cm，重叠部分(四边形AEOD)的面积为 cm2，求旋转的角度n. 图1－S－7 详解详析 1．D [解析] ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，∴AE′＝AE，∠E′AE＝90°， ∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确； ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，∴∠E′AD＝∠BAE. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°. ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠E′AD＋∠DAF＝45°，∴∠E′AF＝∠EAF. 又∵AE′＝AE，∴AF垂直平分EE′，故B正确；∵AF⊥E′E，∠ADF＝90°，∴∠FE′E＋∠AFD＝∠AFD＋∠DAF，∴∠FE′E＝∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C正确； ∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAF， ∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误． 故选D. 2．①②③ [解析] 如图，设BE，DG相交于点O， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCD＋∠DCE＝∠ECG＋∠DCE＝90°＋∠DCE，即∠BCE＝∠DCG. 在△BCE和△DCG中， BC＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG， ∴△BCE≌△DCG(SAS)， ∴BE＝DG，∠1＝∠2. ∵∠1＋∠4＝∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋ ... ...
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