第14讲 导数与函数的极值、最值（原卷版） 考点 考纲要求 要求 常考题型 1．函数的极值问题 1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)． II 选择题，填空题，解答题 2．函数的最值问题 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． III 选择题，填空题，解答题 3．会利用导数解决实际问题 能利用导数及单调性极值最值解决实际问题。 I 解答题 1．函数的极值与导数 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，都有 ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的 ． 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，都有 ，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的 ． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． (3)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ； ②将函数y＝f(x)的各 与端点处的 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 题型一 函数的极值问题 考向一 根据函数图象判断极值 例1（1）设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( ) (2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图 象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【解析】 (1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C． (2)由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0； 当－2＜x＜1时，f′(x)＜0； 当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0． 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 【答案】 (1)C (2)D 变式训练： 1．已知函数f(x)满足f(x)＋xf′(x)＝ln x，且f(1)＝0，则函数f(x)( ) A． 有极大值，无极小值 B． 有极小值，无极大值 C． 既有极大值，又有极小值 D． 既无极大值，也无极小值 考向二 已知函数求极值 例2：(2017·山东)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝2．71828…是自然对数的底数． (1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程； (2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【解析】 (1)由题意f(π)＝π2－2，又f′(x)＝2x－2sin x，所以f′(π)＝2π， 因此，曲线y＝f(x)在点(x，f(π))处的切线方程为y－(π2－2)＝2π(x－π)， 即y＝2πx－π2－2． (2)由题意得h(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)， 因为h′(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)＋ex(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)＝2ex(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(ex－a)(x－sin x)， 令m(x)＝x－sin x则m′(x)＝1－cos x≥0所以m(x)在R上单调递增． 因为m(0)＝0，所以当x＞0时，m(x)＞0， 当x＜0时，m(x)＜0 (1)当a≤0时，ex－a＞0当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减， 当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以当x＝0时h(x)取得极小值， 极小值是h(0)＝－2a－1； (2)当a＞0时，h′(x)＝2(ex－eln a)(x－sin x)由h′(x)＝0得x1＝ln a，x2＝0 ①当0＜a＜1时，ln a＜0，当x∈(－∞，ln a)时，ex－eln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增； 当x∈(ln a,0 ... ...
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