第38讲 空间几何体的表面积与体积（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．空间几何体的表面积与体积 熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题 Ⅱ 解答题 知识要点梳理 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 体 积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 考点一 几何体的表面积 例1：一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )． A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 【解析】换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为，所以该几何体的表面积为48＋8． 【答案】C 类题通解 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 变式训练 1．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )． A． B．2 C．2 D．6 考点二 几何体的体积 例2：如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )． A．18 B．12 C．9 D．6 【解析】该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故V＝3×3×＝9． 【答案】C 类题通解 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． 变式训练 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )． A．π B．π C．π＋8 D．12 π 考点三 几何体的展开与折叠 例3：如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示． (1)求证：BC⊥平面ACD； (2)求几何体DABC的体积． (1)【证明】在图中，可得AC＝BC＝2， 从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 取AC的中点O，连接DO， 则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO?平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC， 又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD． (2)【解析】由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VBACD＝ S△ACD·BC＝×2×2＝， 由等体积性可知，几何体DABC的体积为． 类题通解 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变． (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题． 变式训练 1．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋PA1的最小值为_____． 1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A．4πS B．2πS C．πS D．πS 2．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )． A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 3．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )． A．8 B．6 C．10 D．8 4．设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A． π＋12 B． π＋1 ... ...
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